https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Kouki_Ri

2025.08.15記

[1] 正三角形 $\mbox{ABC}$ の辺 $\mbox{AB}$ 上に点 $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ が，辺 $\mbox{BC}$ 上に点 $\mbox{Q}_1$ ， $\mbox{Q}_2$ が，辺 $\mbox{CA}$ 上に点 $\mbox{R}_1$ ， $\mbox{R}_2$ があり，どの点も頂点には一致していないとする．このとき三角形 $\mbox{P}_1\mbox{Q}_1\mbox{R}_1$ の重心と三角形 $\mbox{P}_2\mbox{Q}_2\mbox{R}_2$ の重心が一致すれば， $\mbox{P}_1\mbox{P}_2=\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2=\mbox{R}_1\mbox{R}_2$ が成り立つことを示せ．

2025.09.05記

[解答]
正三角形 $\mbox{ABC}$ の重心を原点 $\mbox{O}$ にとり， $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{c}$ とおくと
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ である．

$\mbox{P}_1$ を $\mbox{AB}$ を $c_1:1-c_1$ に内分する点， $\mbox{Q}_1$ を $\mbox{BC}$ を $a_1:1-a_1$ に内分する点， $\mbox{R}_1$ を $\mbox{CA}$ を $b_1:1-b_1$ に内分する点とすると三角形 $\mbox{P}_1\mbox{Q}_1\mbox{R}_1$ の重心は
$\dfrac{(1-c_1+b_1)\vec{a}+(1-a_1+c_1)\vec{b}+(1-b_1+a_1)\vec{c}}{3}$ $=\dfrac{(2b_1-c_1-a_1)\vec{a}+(b_1+c_1-2a_1)\vec{b}}{3}$
である．同様に
$\mbox{P}_2$ を $\mbox{AB}$ を $c_2:1-c_2$ に内分する点， $\mbox{Q}_2$ を $\mbox{BC}$ を $a_2:1-a_2$ に内分する点， $\mbox{R}_2$ を $\mbox{CA}$ を $b_2:1-b_2$ に内分する点とすると三角形 $\mbox{P}_2\mbox{Q}_2\mbox{R}_2$ の重心は
$=\dfrac{(2b_2-c_2-a_2)\vec{a}+(b_2+c_2-2a_2)\vec{b}}{3}$
となる．これらが一致し， $\vec{a}，\vec{b}$ が一次独立なので
$2b_1-c_1-a_1=2b_2-c_2-a_2$ ， $b_1+c_1-2a_1=b_2+c_2-2a_2$
が成立し，
$b_2-b_1=\dfrac{(a_2-a_1)+(c_2-c_1)}{2}$ ， $a_2-a_1=\dfrac{(b_2-b_1)+(c_2-c_1)}{2}$ ，
つまり $b_2-b_1$ は $a_2-a_1$ と $c_2-c_1$ の平均だからその間にあり， $a_2-a_1$ は $b_2-b_1$ と $c_2-c_1$ の平均だからその間にあるので， $a_2-a_1$ ， $b_2-b_1$ ， $c_2-c_1$ の値は一致する．よって $\triangle\mbox{ABC}$ が正三角形であることから $\mbox{P}_1\mbox{P}_2=\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2=\mbox{R}_1\mbox{R}_2$ が成り立つ．