2003年(平成15年)京都大学後期-数学(理系)

[1] 正三角形 の辺 上に点 ， が，辺 上に点 ， が，辺 上に点 ， があり，どの点も頂点には一致していないとする．このとき三角形 の重心と三角形 の重心が一致すれば， が成り立つことを示せ．

[2] 一辺の長さが1の正三角形 の辺 上に点 をとり，線分 に沿ってこの三角形を折り曲げ，4点 ，，， を頂点とする四面体を作り，その体積を最大にすることを考える．体積が最大になるときの の位置と，そのときの四面体の体積を求めよ．

[3] ， を実数とする．3次方程式 は3つの複素数からなる解 ，， をもち，相異なる ， に対し をみたしている．このような ， の組をすべて求めよ．

[4] を正の数からなる数列とし， を正の実数とする．このとき をみたす番号 が存在することを証明せよ．

[5] 極限 を求めよ．

[6] 7つの文字を並べた列 で，次の3つの条件をみたすものの総数を求めよ．

(i) ，，， は ，，，，， のいずれかである

(ii) ，，， に対し， と は相異なる

(iii) ，，， に対し， と は右図において線分で結ばれている