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2003年(平成15年)京都大学後期-数学(文系)[4]

2025.08.15記

[4] 辺の長さが $\mbox{AB}=3$ ， $\mbox{AC}=4$ ， $\mbox{BC}=5$ ， $\mbox{AD}=6$ ， $\mbox{BD}=7$ ， $\mbox{CD}=8$ である四面体 $\mbox{ABCD}$ の体積を求めよ．

2025.09.07記
$\triangle\mbox{ABC}$ は直角三角形なので座標にのせましょう．

[解答]
$\mbox{A}(0，0，0)$ ， $\mbox{B}(3，0，0)$ ， $\mbox{C}(0，4，0)$ ， $\mbox{D}(x，y，z)$ （ $z\gt 0$ ）とおくと
$\mbox{AD}^2=x^2+y^2+z^2=36$ …①， $\mbox{BD}^2=(x-3)^2+y^2+z^2=49$ …②， $\mbox{CD}^2=x^2+(y-4)^2+z^2=64$ …③
が成立する．① $-$ ②，① $-$ ③ により $x=-\dfrac{2}{3}$ ， $y=-\dfrac{3}{2}$ となり，①と $z\gt 0$ から $z=\dfrac{\sqrt{1199}}{6}$ となる．よって求める体積は
$\dfrac{1}{6}\cdot 3\cdot 4\cdot \dfrac{\sqrt{1199}}{6}$ $=\dfrac{\sqrt{1199}}{3}$
となる．

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