https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Kouki_Bun

2025.08.15記

[3] 原点 $\mbox{O}$ を中心とする半径1の円 $C$ 上に2点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ をとる． $\angle\mbox{POQ}$ が直角であるように点 $\mbox{P}$ が第1象限を，点 $\mbox{Q}$ が第2象限を動くとき，点 $\mbox{P}$ における $C$ の接線，点 $\mbox{Q}$ における $C$ の接線，および $x$ 軸が囲む三角形を考える．この三角形の面積が最小になるのはどのような場合か．またその最小値を求めよ．

2025.09.07記

[解答]
$\mbox{P}(\cos\theta，\sin\theta)$ とおくと，この直角三角形の面積は
$\dfrac{1}{2}(1+\tan\theta)\left(1+\dfrac{1}{\tan\theta}\right)$ $=\dfrac{1}{2}\left(\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\right)+1$
$\geqq \sqrt{\tan\theta\cdot\dfrac{1}{\tan\theta}}+1=2$ （AM-GM不等式）
を満たす．よって $\theta=45^{\circ}$ ，つまり $\mbox{P}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}，\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ のときに最小値 $2$ をとる．