https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Kouki_Bun

2025.08.15記

[2] 実数 $x$ に対して3つの数， $2x$ ， $5-x$ ，2のうちの最小の数を $f(x)$ とおく．さらに $g(x)=xf(x)$ とおく．このとき， $y=g(x)$ のグラフと $x$ 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

本問のテーマ

原点まわりのモーメント（力学）
パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の(第二)定理

2025.09.07記

[解答]
$f(x)=\begin{cases} 2x & (x\leqq 1) \\ 2 & (1\leqq x\leqq 3) \\ 5-x & (5\leqq x) \end{cases}$
だから，
$g(x)=\begin{cases} 2x^2 & (x\leqq 1) \\ 2x & (1\leqq x\leqq 3) \\ x(5-x) & (5\leqq x) \end{cases}$
となり，求める面積は
$\displaystyle\int_0^1 2x^2\, dx$ $+\dfrac{2+6}{2}\cdot 2$ $+\displaystyle\int_3^5 x(5-x)\, dx$ $=16$
（計算略）となる．

パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の(第二)定理とバームクーヘン分割と重心の定義の関係を考えると $xf(x)$ の積分の意味がわかるだろう．

[大人の解答]
$y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分は台形であり，その原点まわりのモーメントは2つの直角三角形と正方形に分割することにより，
$1\cdot\dfrac{2}{3}+4\cdot2+2\cdot\dfrac{11}{3}=16$
である．