https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Kouki_Bun

2025.08.15記

[1] 三角形 $\mbox{ABC}$ と点 $\mbox{P}$ に対して，次の $2$ つの条件は同値であることを証明せよ．

(i) 点 $\mbox{P}$ は三角形 $\mbox{ABC}$ の内部（周は除く）にある

(ii) 正の数 $a$ ， $b$ ， $c$ があって， $a\overrightarrow{\mbox{PA}}+b\overrightarrow{\mbox{PB}}+c\overrightarrow{\mbox{PC}}=\overrightarrow{0}$ が成り立つ

2025.09.07記
基本問題．

[解答]
(i)ならば(ii)を示す．

(i) のとき， $\mbox{AP}$ と $\mbox{BC}$ の交点を $\mbox{Q}$ とすると，点 $\mbox{P}$ は三角形 $\mbox{ABC}$ の内部(周は除く)にあるので，
$\mbox{AP}:\mbox{PQ}=s:t$ ， $\mbox{BQ}:\mbox{QC}=x:y$
を満たす正の数 $s，t，x，y$ が存在する．このとき
$\overrightarrow{\mbox{PA}}=-\dfrac{s}{t}\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ $=-\dfrac{s}{t}\cdot \dfrac{y\overrightarrow{\mbox{PB}}+z\overrightarrow{\mbox{PC}}}{y+z}$
であるから
$\{t(y+z)\}\overrightarrow{\mbox{PA}}+sy\overrightarrow{\mbox{PB}}+sz\overrightarrow{\mbox{PC}}=\vec{0}$
が成り立ち， $t(y+z)，sy，sz\gt 0$ から (ii) が成立する．

(ii)ならば(i)を示す．

(ii) より $a\overrightarrow{\mbox{PA}}=-(b+c)\dfrac{b\overrightarrow{\mbox{PB}}+c\overrightarrow{\mbox{PC}}}{b+c}$ であるから， $\mbox{BC}$ を $c:b$ に内分する点を $\mbox{R}$ とすると， $\mbox{R}$ は線分 $\mbox{BC}$ 上の点（両端を除く）であり， $\mbox{AP}:\mbox{PR}=(b+c):a$ から $\mbox{P}$ は線分 $\mbox{AR}$ 上の点（両端を除く）であるから三角形 $\mbox{ABC}$ の周を除く内部にあるので(i)が成立する．

よって2つの条件は同値である．