https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Bunkei

2025.08.15記

[5] $4$ チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ $1$ 回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべて $\dfrac{1}{2}$ で，各回の勝敗は独立に決まるものとする．勝ち数の多い順に順位をつけ，勝ち数が同じであればそれらは同順位とする． $1$ 位のチーム数の期待値を求めよ．

2025.08.15記

[解答]
合計で6勝であるから，一位が3勝の1チーム，一位が2勝の2チーム，一位が2勝の3チームの3つの場合がある．

(1) 一位が3勝で単独となる場合：
一位のチームの選び方は4通りで，一位のチームの勝敗が3勝となる確率は $\dfrac{1}{8}$ で，他の勝敗はどうでも良いので求める確率は $4\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}$ である．

(2) 一位が2勝で3チームとなる場合：
全敗の1チームの選び方が4通りで，残り3チーム $A，B，C$ において $A$ が $B$ に勝つ形の3すくみとなる選び方は2通りあるので合計8通りあり，それぞれに対して勝敗の表は一通りに決まるので，求める確率は $\dfrac{8}{2^6}=\dfrac{1}{8}$ である．

(3) 一位が2勝で2チームとなる場合：
求める確率は(1)(2)の場合を除いた $\dfrac{3}{8}$ である．

よって求める期待値は $1\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{3}{8}+3\cdot\dfrac{1}{8}$ $=\dfrac{13}{8}$ となる．