2003年(平成15年)京都大学前期-数学(文系)[4]

2025.08.15記

[4] $p$ は3以上の素数であり， $x$ ， $y$ は $0 \leqq x \leqq p$ ， $0 \leqq y \leqq p$ をみたす整数であるとする．このとき $x^2$ を $2p$ で割った余りと， $y^2$ を $2p$ で割った余りが等しければ， $x=y$ であることを示せ．

2025.08.15記

[解答]
奇素数 $p$ に対して $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ は $2p$ の倍数であるが， $x+y，x-y$ は偶奇が等しいので $x+y$ または $x-y$ が $2p$ の倍数となる．

ここで $0\leqq x+y\leqq 2p$ ， $-p\leqq x-y\leqq p$ により $x+y=0，2p$ または $x-y=0$ となるが，いずれも $x=y$ である．

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