以下の内容はhttps://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Bunkei_2より取得しました。

2003年(平成15年)京都大学前期-数学(文系)[2]

2025.08.15記

[2] $xy$ 平面上で，放物線 $C:y=x^2+x$ と，直線 $l:y=kx+k-1$ を考える．このとき次の問に答えよ．

(1) 放物線 $C$ と直線 $l$ が相異なる2点で交わるような $k$ の範囲を求めよ．

(2) 放物線 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ とし，線分 $\mbox{PQ}$ の長さを $L$ ，線分 $\mbox{PQ}$ と放物線とで囲まれる部分の面積を $S$ とする． $k$ が(1)で定まる範囲を動くとき， $\dfrac{S}{L^3}$ の値のとりうる範囲を求めよ．

2025.08.15記

[解答]
(1) $x^2-(k-1)x-(k-1)=0$ が相異2実解を持つので $k\lt -3，1\lt k$ である．

(2) 2交点の $x$ 座標を $\alpha，\beta$ （ $\alpha\lt\beta$ ）とすると
$S=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$ ， $L=\sqrt{1+k^2}(\beta-\alpha)$
であるから，
$\dfrac{S}{L^3}=\dfrac{1}{6\sqrt{1+k^2}^3}$
となり，(1) より $k^2\gt 1$ であるから
$\dfrac{S}{L^3}\lt\dfrac{1}{12\sqrt{2}}$
である．

以上の内容はhttps://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Bunkei_2より取得しました。
このページはhttp://font.textar.tv/のウェブフォントを使用してます

不具合報告/要望等はこちらへお願いします。
モバイルやる夫Viewer Ver0.14