https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Bunkei

2025.08.15記

[1] $\dfrac{23}{111}$ を $0.a_1a_2a_3a_4\cdots$ のように小数で表す．すなわち小数第 $k$ 位の数を $a_k$ とする．このとき $\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{3^k}$ を求めよ．

2025.08.15記

[解答]
$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{3^k}$ とおき， $S_0=0$ とする．

$\dfrac{23}{111}=\dfrac{207}{999}=0.\dot{2}0\dot{7}$ であるから，求める和を初項 $\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{27}=\dfrac{25}{27}$ ，公比 $\dfrac{1}{27}$ の等比数列の和と考えると，
$n=3m$ のとき
$S_{n}=$ $\dfrac{25}{27}\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{27^m}}{1-\dfrac{1}{27}}$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{1}{3^{3m}}\right)$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{1}{3^{n}}\right)$ （ $n=0$ でも成立する），

$n=3m+1$ のとき
$S_n=S_{3m}+\dfrac{2}{3^{3m+1}}$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{1}{3^{3m}}\right)+\dfrac{2}{3^{3m+1}}$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{1}{3^{n-1}}\right)+\dfrac{2}{3^{n}}$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{23}{25}\cdot \dfrac{1}{3^{n}}\right)$ ，

$n=3m+2$ のとき
$S_n=S_{n-1}=S_{3m+1}$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{23}{25}\cdot \dfrac{1}{3^{n-1}}\right)$
となる．

（ここから2025.08.17追記
$n=1，2，…$ なので $n=3m$ ， $n=3m+1$ ， $n=3m+2$ と場合分けすると $n=3m$ の場合だけ $m=0$ から始まるので[解答]では $S_0=0$ を設定したが， $n=3m$ ， $n=3m-1$ ， $n=3m-2$ と場合分けするとすべて $m=1$ から始まる

[解答]
$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{3^k}$ とおく．

$\dfrac{23}{111}=\dfrac{207}{999}=0.\dot{2}0\dot{7}$ であるから，求める和を初項 $\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{27}=\dfrac{25}{27}$ ，公比 $\dfrac{1}{27}$ の等比数列の和と考えると，
$n=3m$ （ $m=1，2，…$ ）のとき
$S_{n}=$ $\dfrac{25}{27}\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{27^m}}{1-\dfrac{1}{27}}$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{1}{3^{3m}}\right)$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{1}{3^{n}}\right)$ ，

$n=3m-1$ （ $m=1，2，…$ ）のとき
$S_n=S_{3m}-\dfrac{7}{3^{3m}}$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{1}{3^{3m}}\right)-\dfrac{7}{3^{3m}}$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{207}{3^{3m}}\right)$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{207}{3^{n+1}}\right)$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{23}{25}\cdot \dfrac{1}{3^{n-1}}\right)$ ，

$n=3m-2$ （ $m=1，2，…$ ）のとき
$S_n=S_{3m-1}$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{23}{25}\cdot \dfrac{1}{3^{n}}\right)$

となる．

ここまで）

2025.08.17記
循環小数を有理数に変換するときの手法を利用する．
$\dfrac{23}{111}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{a_k}{3^k}$ のとき， $S=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{a_k}{3^k}$ の値はいくらか？というのが本問の本質的なところであり，見た目では10進小数を3進小数と考えていることになる．このとき3進小数では登場しない $3〜9$ の扱いが問題となるが，本問の場合は
$\dfrac{23}{111}=0.\dot{2}0\dot{7}$ を無理矢理3進小数と考えると， $S=0.\dot{2}2\dot{1}_{(3)}=\dfrac{221}{222}_{(3)}=\dfrac{25}{26}$ と変形できる．

なお， $S=0.\dot{2}2\dot{1}_{(3)}=0.\dot{2}_{(3)}-0.\dot{0}0\dot{1}_{(3)}=1-0.\dot{0}0\dot{1}_{(3)}$ と見て，さらに27進小数に変換すると $1-0.\dot{1}_{(27)}=1-\dfrac{1}{26}\times 0.\dot{[26]}_{(27)}$ $=1-\dfrac{1}{26}=\dfrac{25}{26}$ となる．

結局 $S=0.\dot{2}0\dot{7}_{(3)}=\dfrac{2\times 3^2+0\times 3+1\times 3^0}{26}$ $=\dfrac{25}{26}$ となり，記数法の本質的な部分を取り出せば $\dfrac{23}{111}=\dfrac{207}{999}$ より $S=\dfrac{2\times 9+0\times 3+1}{3^3-1}=\dfrac{25}{26}$ となる．

では

$\dfrac{69}{111}$ を $0.a_1a_2a_3a_4\cdots$ のように小数で表す．すなわち小数第 $k$ 位の数を $a_k$ とする．このとき $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{a_k}{3^k}$ を求めよ．

だったらどうなるだろうか．もちろん $\dfrac{69}{111}=\dfrac{621}{999}$ より $S=\dfrac{6\times 9+2\times 3+1}{3^3-1}=\dfrac{61}{26}$ となる．もとの数が3倍になったからといって結果も3倍になるとは限らない．

[大人の解答]
$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{3^k}$ とおき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n=S$ とすると，
$\dfrac{23}{111}=\dfrac{207}{999}$ より $S=\dfrac{2\times 9+0\times 3+7\times 1}{3^3-1}=\dfrac{25}{26}$ となる．

$n=3m$ のとき，
$3^{3m} S-S=3^{3m} S_{3m}$ より $S_n=\left(1-\dfrac{1}{3^{3m}}\right)S$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{1}{3^{n}}\right)$ となる．

$n=3m+1$ のとき
$3^{3m+1} S-S=3^{3m+1} S_{3m+1}-0.0\dot{2}_{(3)}$ $=3^{3m+1} S_{3m+1}-\dfrac{2}{26}$
より $S_n=S-\left(S-\dfrac{2}{26}\right)\cdot\dfrac{1}{3^{3m+1}}$ $=\dfrac{25}{26}-\dfrac{23}{26}\cdot\dfrac{1}{3^{3m+1}}$
となる．

$n=3m+2$ のとき
$S_n=S_{n-1}=S_{3m+1}$ $=\dfrac{25}{26}\left(1-\dfrac{23}{25}\cdot \dfrac{1}{3^{n-1}}\right)$
となる．

例えば， $S_{7}=0.2212212_{(3)}$ を求めるとき， $3^7S-S=2212212-0.0\dot{2}_{(3)}=3^7S_7-\dfrac{2}{26}$ となるように，
$(3^{3m+1}-1)S=3^{3m+1}S_{3m+1}-\dfrac{2}{26}$
が成立する． $n=3m+2$ のときも同様に考えても良いが，省略する．

2025.08.30記
[大人の解答]で $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{3^k}$ とおいたときに $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n=S$ の存在を自明とした．通常ならば
$n=3m,3m+1,3m+2$ と場合分けして極限が全て等しいことを示すべきなので本末転倒な訳であるが，そもそも有理数を循環小数で表現する時点でこのことを認めているという立場から本問のような循環小数の極限に関しては $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n=S$ の存在を自明とした．でないと[大人の解答]自体が成立しない(笑)．