https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Bunkei

2025.08.15記

[1] $\dfrac{23}{111}$ を $0.a_1a_2a_3a_4\cdots$ のように小数で表す．すなわち小数第 $k$ 位の数を $a_k$ とする．このとき $\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{3^k}$ を求めよ．

[2] $xy$ 平面上で，放物線 $C:y=x^2+x$ と，直線 $l:y=kx+k-1$ を考える．このとき次の問に答えよ．

(1) 放物線 $C$ と直線 $l$ が相異なる2点で交わるような $k$ の範囲を求めよ．

(2) 放物線 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ とし，線分 $\mbox{PQ}$ の長さを $L$ ，線分 $\mbox{PQ}$ と放物線とで囲まれる部分の面積を $S$ とする． $k$ が(1)で定まる範囲を動くとき， $\dfrac{S}{L^3}$ の値のとりうる範囲を求めよ．

[3] 四面体 $\mbox{OABC}$ は次の2つの条件

(i) $\overrightarrow{\mbox{OA}}\perp\overrightarrow{\mbox{BC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}\perp\overrightarrow{\mbox{AC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}\perp\overrightarrow{\mbox{AB}}$

(ii) 4つの面の面積がすべて等しい

をみたしている．このとき，この四面体は正四面体であることを示せ．

[4] $p$ は3以上の素数であり， $x$ ， $y$ は $0 \leqq x \leqq p$ ， $0 \leqq y \leqq p$ をみたす整数であるとする．このとき $x^2$ を $2p$ で割った余りと， $y^2$ を $2p$ で割った余りが等しければ， $x=y$ であることを示せ．

[5] $4$ チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ $1$ 回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべて $\dfrac{1}{2}$ で，各回の勝敗は独立に決まるものとする．勝ち数の多い順に順位をつけ，勝ち数が同じであればそれらは同順位とする． $1$ 位のチーム数の期待値を求めよ．