https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Rikei

2025.08.11記

[6] $0\lt \theta\lt 90$ とし， $a$ は正の数とする．複素数平面上の点 $z_0$ ， $z_1$ ， $z_2$ ， $\cdots$ をつぎの条件(i)，(ii)を満たすように定める．

(i) $z_0=0$ ， $z_1=a$

(ii) $n \geqq 1$ のとき，点 $z_n-z_{n-1}$ を原点のまわりに $\theta^{\circ}$ 回転すると点 $z_{n+1}-z_n$ に一致する．

このとき点 $z_n$ $(n \geqq 1)$ が点 $z_0$ と一致するような $n$ が存在するための必要十分条件は， $\theta$ が有理数であることを示せ．

2025.08.11記

[解答]
$r=\cos\theta^{\circ}+i\sin\theta^{\circ}$ とおくと $r\neq 1$ である．

$z_{n+1}-z_n=r(z_n-z_{n-1})$ であるから
$z_n=(z_1-z_0)(1+r+\cdots+r^{n-1})$ $=a\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1}$
となる．よって $z_n=0$ なる自然数 $n$ が存在する必要十分条件は， $a\neq 0$ より $r^n=1$ ，つまり $\cos n\theta^{\circ}+i\sin n\theta^{\circ}=0$ を満たす自然数 $n$ が存在することであり， $\theta>0$ より $n\theta^{\circ}=360k^{\circ}$ を満たす自然数 $n，k$ が存在することである．

このとき $\theta=\dfrac{360k}{n}$ であるから $\theta$ は有理数である必要があり，任意の正の有理数 $\theta=\dfrac{p}{q}$ （ $p，q$ は自然数）に対して $\theta=\dfrac{360p}{360q}$ であるから $n=360q$ のとき， $n\theta^{\circ}=360p^{\circ}$ となるので点 $z_{360p}=z_0$ となり十分である．

よって求める必要十分条件は $\theta$ が有理数であることである．