https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Rikei

2025.08.11記

[5] $a$ ， $b$ ， $c$ を実数とする． $y=x^3+3ax^2+3bx$ と $y=c$ のグラフが相異なる3つの交点を持つという．このとき $a^2\gt b$ が成立することを示し，さらにこれらの交点の $x$ 座標のすべては開区間 $(-a-2\sqrt{a^2-b}，-a+2\sqrt{a^2-b})$ に含まれていることを示せ．

本問のテーマ

3次関数の箱（4等分×2等分）

2025.08.11記

[解答]
$f(x)=x^3+3ax^2+3bx$ とおく．3次関数のグラフと定数関数が相異なる3点で交わるための必要十分条件は，3次関数が極大値と極小値を持ち，定数関数がその間と通ることである．

$f(x)$ が極大値と極小値をもつには $f'(x)=3(x^2+2ax+b)=0$ が相異2実解を持つ必要があり，判別式から $a^2-b\gt 0$ ，つまり $a^2>b$ が成立する． $\alpha=\sqrt{a^2-b}$ とおくと， $f(-a-\alpha)$ で極大， $f(-a+\alpha)$ で極小となるので，3つの交点を持つための必要十分条件は $f(-a+\alpha)\lt c\lt f(-a-\alpha)$ となる．ここで
$f(x)-f(-a+\alpha)=(x+a-\alpha)^2(x+a+2\alpha)$ ，
$f(x)-f(-a-\alpha)=(x+a+\alpha)^2(x+a-2\alpha)$
と因数分解できることから， $f(-a-2\alpha)=f(-a+\alpha)$ ， $f(-a+2\alpha)=f(-a-\alpha)$ が成立するので
$f(-a-2\alpha)\lt c\lt f(-a-\alpha)$ ，
$f(-a-\alpha)\lt c\lt f(-a+\alpha)$ ，
$f(-a+\alpha)\lt c\lt f(-a+2\alpha)$
が成立し，交点の $x$ 座標は
$-a-2\alpha\lt x\lt -a-\alpha$ ， $-a-\alpha\lt x\lt -a+\alpha$ ， $-a+\alpha\lt x\lt -a+2\alpha$ の範囲に1つずつ存在する．
よって交点の $x$ 座標はすべて $-a-2\alpha\lt x\lt -a+2\alpha$ を満たす．