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2002年(平成14年)京都大学前期-数学(理系)[3]

2025.08.11記

[3] $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1$ は整数を係数とする $x$ の4次式とする．4次方程式 $f(x)=0$ の重複も込めた4つの解のうち，2つは整数で残りの2つは虚数であるという．このとき $a$ ， $b$ ， $c$ の値を求めよ．

2025.08.11記

[解答]
$f(x)$ の整数解を $n$ とすると
$n(n+an^2+bn+c)=-1$
が成立するので $n$ は $1$ か $-1$ である．

(i) 2つの整数解が $1，-1$ の2つであるとき：
$f(x)=(x+1)(x-1)(x^2+px-1)$
と因数分解できなければならないが， $x^2+px-1=0$ は虚数解を持たないのでこの場合ではない．

(ii) 2つの整数解が $1$ で重解のとき
$f(x)=(x-1)^2(x^2+qx+1)$ （ $q$ は整数）
と因数分解できなければならず， $x^2+qx+1=0$ が虚数解を持つので $q=-1，0，1$ となり
$(a，b，c)=(-2，2，-2)$ ， $(-1，0，-1)$ ， $(-3，4，-3)$
となる．

(iii) 2つの整数解が $-1$ で重解のとき
$f(x)=(x+1)^2(x^2+rx+1)$ （ $q$ は整数）
と因数分解できなければならず， $x^2+rx+1=0$ が虚数解を持つので $r=-1，0，1$ となり
$(a，b，c)=(2，2，2)$ ， $(1，0，1)$ ， $(3，4，3)$
となる．

以上から
$(a，b，c)=(-2，2，-2)$ ， $(-1，0，-1)$ ， $(-3，4，-3)$ ， $(2，2，2)$ ， $(1，0，1)$ ， $(3，4，3)$
となる．

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