https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Rikei

2025.08.11記

[1] 数列 $\{ a_n \}$ の初項 $a_1$ から第 $n$ 項 $a_n$ までの和を $S_n$ と表す．この数列が $a_1=1$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=1$ ， $n(n-2)a_{n+1}=S_n$ $(n \geqq 1)$ を満たすとき，一般項 $a_n$ を求めよ．

2025.08.11記
問題文が $n(n-2)a_{n+2}=S_n$ から $n(n-2)a_{n+1}=S_n$ に訂正された．

[解答]
$-a_2=S_1=a_1=1$ より $a_2=-1$ である．

$(n+1)(n-1)a_{n+2}-n(n-2)a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ （ $n\geqq 1$ ）
であるから，
$(n+1)(n-1)a_{n+2}-(n-1)^2a_{n+1}=0$ （ $n\geqq 1$ ）
となり， $n\geqq 2$ のとき $(n+1)a_{n+2}-(n-1)a_{n+1}=0$ から $n(n+1)a_{n+2}=(n-1)na_{n+1}$ が成立し，よって $n(n+1)a_{n+2}=2a_3$ ，つまり
$a_{n+2}=\dfrac{2a_3}{n(n+1)}=2a_3\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$
が成立する．よって $n\geqq 3$ のとき
$S_n=a_1+a_2+\displaystyle\sum_{k=3}^n 2a_3\left(\dfrac{1}{k-2}-\dfrac{1}{k-1}\right)$ $=2a_3\left(1-\dfrac{1}{n-1}\right)$ $=2a_3\cdot \dfrac{n-2}{n-1}$
が成立する． $n\to\infty$ として $a_3=\dfrac{1}{2}$ となるので，

$a_1=1，a_2=-1$ ， $a_n=\dfrac{1}{(n-2)(n-1)}$ （ $n\geqq 3$ ）

となる．