2002年(平成14年)京都大学前期-数学(理系)

[1] 数列 の初項 から第 項 までの和を と表す．この数列が ，， を満たすとき，一般項 を求めよ．

[2] 半径1の円周上に相異なる3点 ，， がある．

(1) ならば は鋭角三角形であることを示せ．

(2) が成立することを示せ．また，この等号が成立するのはどのような場合か．

[3] は整数を係数とする の4次式とする．4次方程式 の重複も込めた4つの解のうち，2つは整数で残りの2つは虚数であるという．このとき ，， の値を求めよ．

[4](1) で定義された関数 について，導関数 を求めよ．

(2) 極方程式 （ ）で定義される曲線の， の部分の長さを求めよ．

[5] ，， を実数とする． と のグラフが相異なる3つの交点を持つという．このとき が成立することを示し，さらにこれらの交点の 座標のすべては開区間 に含まれていることを示せ．

[6] とし， は正の数とする．複素数平面上の点 ，，， をつぎの条件(i)，(ii)を満たすように定める．

(i) ，

(ii) のとき，点 を原点のまわりに 回転すると点 に一致する．

このとき点 が点 と一致するような が存在するための必要十分条件は， が有理数であることを示せ．