https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Kouki_Ri

2025.08.11記

[6] 閉区間 $\displaystyle \left[ -\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{2} \right]$ で定義された関数 $f(x)$ が
$\displaystyle f(x)+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x-y)f(y)\, dy=x+1$ $\displaystyle \left( -\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)$ を満たしている． $f(x)$ を求めよ．

補足． $\sin(x-y)f(y)$ は $\sin(x-y)$ と $f(y)$ の積の意味である．

2025.08.13記

[解答]
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x-y)f(y)dy$ $=(\sin x)\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos y f(y)\, dy$ $-(\cos x)\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin yf(y)\, dy$
であるから，
$A=\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin yf(y)\, dy$ ，
$B=-\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos yf(y)\, dy$
とおくと， $f(x)-A\cos x-B\sin x=x+1$ ，つまり $f(x)=x+1+A\cos x+B\sin x$ となる．

よって
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin y\, dy=0$ ， $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos y\, dy=2$ ，
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} y \sin y\, dy=2$ ， $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} y \cos y\, dy=0$ ， $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin y\cos y\, dy=0$ ， $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 y\, dy$ $=\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 y\, dy=\dfrac{\pi}{2}$
から
$A=\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin y)(y+1+A\cos y+B\sin y)\, dy$ $=2+\dfrac{\pi}{2}B$ ，
$B=-\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos y)(y+1+A\cos y+B\sin y)\, dy$ $=-2-\dfrac{\pi}{2}A$
となり， $A=2-\pi-\dfrac{\pi^2}{4}A$ ，つまり $A=\dfrac{4(2-\pi)}{\pi^2+4}$ となり， $B=-\dfrac{4(\pi+2)}{\pi^2+4}$ となる．よって
$f(x)=x+1+\dfrac{4(2-\pi)}{\pi^2+4}\cos x-\dfrac{4(\pi+2)}{\pi^2+4}\sin x$
となる．