https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Kouki_Ri

2025.08.11記

[5] 数列 $\{a_n\}$ ， $\{b_n\}$ を $a_1=3$ ， $b_1=2$

$a_{n+1}=a_n{}^2+2b_n{}^2$ ， $b_{n+1}=2a_nb_n$ （ $n\geqq1$ ）

で定める．

(1) $a_n{}^2-2b_n{}^2$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$ を求めよ．

本問のテーマ

ペル(Pell)方程式

2025.08.13記

[解答]
(1) $a_{n}{}^2-2b_{n}{}^2$ $=\{a_{n-1}{}^2+2b_{n-1}{}^2\}^2-\{2a_{n-1}b_{n-1}\}^2$ $=(a_{n-1}{}^2-2b_{n-1}{}^2)^2$ $=(a_1{}^2-2b_1{}^2)^{2^{n-1}}$ $=1^{2^{n-1}}=1$ となる．

(2) 漸化式から帰納的に $a_n$ ， $b_n$ は正であり，
$b_n{}\gt 2b_{n-1}^2\gt\cdots\gt 2^{n-1}b_1=2^n$ であるから $b_n\to +\infty$ （ $n\to\infty$ ）となる．

よって $\dfrac{a_n}{b_n}=\sqrt{2+\dfrac{1}{b_n{}^2}}\to \sqrt{2}$ となる．

ペル方程式 - 球面倶楽部零八式 mark II の理論を用いると次のようにも解ける．

[大人の解答]
(1) 複号同順で
$a_{n}\pm\sqrt{2}b_{n}=(a_{n-1}\pm\sqrt{2}b_{n-1})^2=(a_1\pm\sqrt{2}b_1)^{2^{n-1}}$ $=(3\pm 2\sqrt{2})^{2^{n-1}}$ $=(\sqrt{2}\pm 1)^{2^{n}}$
が成立する．よって
$a_n{}^2-2b_n{}^2=(a_{n}+\sqrt{2}b_{n})(a_{n}-\sqrt{2}b_{n})$ $=\{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)\}^{2^n}=1$
である．

(2) (1)より
$a_n=\dfrac{1}{2}\{(\sqrt{2}+1)^{2^n}+(\sqrt{2}-1)^{2^n}\}$ ， $b_n=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\{(\sqrt{2}+1)^{2^n}-(\sqrt{2}-1)^{2^n}\}$
となる．よって
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{2}\cdot \dfrac{(\sqrt{2}+1)^{2^n}+(\sqrt{2}-1)^{2^n}}{(\sqrt{2}+1)^{2^n}-(\sqrt{2}-1)^{2^n}}$ $=\sqrt{2}$
である．