https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Kouki_Ri

2025.08.11記

[3] 各面が鋭角三角形からなる四面体 $\mbox{ABCD}$ において，辺 $\mbox{AB}$ と辺 $\mbox{CD}$ は垂直ではないとする．このとき辺 $\mbox{AB}$ を含む平面 $\alpha$ に点 $\mbox{C}$ ，点 $\mbox{D}$ から下ろした垂線の足をそれぞれ $\mbox{C}'$ ， $\mbox{D}'$ とするとき，4点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}'$ ， $\mbox{D}'$ がすべて相異なり，しかも同一円周上にあるように $\alpha$ がとれることを示せ．

2025.08.13記
平面上の4点が同一円周上にある条件は $\mbox{AB}$ 以外変化するので計算に乗りにくく，計算で処理するのは難しい．このように計算でうまく行かなさそうな場合，図形的に着目せざるを笑ないが，同一円周上にある状況を具体的に構成できなそうな場合，中間値の定理の利用を考える．ここで $\mbox{AB}$ が固定され， $\mbox{C}'$ ， $\mbox{D}'$ が $\mbox{AB}$ に垂直方向にしか移動できないので，
$\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{B}(-a，0)$ ， $\mbox{C}'(c，s)$ ， $\mbox{D}'(d，t)$
（ $-a\lt c\lt a$ ， $-a\lt d\lt a$ として良く， $s，t$ は同時に動く）
という形になるが， $s，t$ の関係が良くわからないので，特別な場合を考える．

[解答]
$\mbox{C}，\mbox{D}$ から $\mbox{AB}$ に下した垂線の足を $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ とすると，辺 $\mbox{AB}$ と辺 $\mbox{CD}$ は垂直ではないので $\mbox{P}\neq\mbox{Q}$ であり， $\triangle\mbox{ACB}$ ， $\triangle\mbox{ADB}$ は鋭角三角形なので， $\rm P，Q$ は線分 $\mbox{AB}$ 上（両端を除く）にあり，よって $\rm A，C'，D'，B$ もすべて相異なる．よって $\alpha$ 上にとった座標系において
$\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{B}(-a，0)$ ， $\mbox{C}'(c，s)$ ， $\mbox{D}'(d，t)$
（ $b，c，d$ は $-a\lt c\lt a$ ， $-a\lt d\lt a$ を満たす定数で， $s，t$ は変数）
と置くことができる．

今， $\alpha$ が $\triangle\mbox{ADB}$ に一致するとき， $s，t\gt 0$ であり， $\alpha$ を連続的に動かすと $s，t$ も連続的に動くことに注意して， $s，t\geqq 0$ の範囲内で $\alpha$ を動かすことを考える．ここで，この範囲で
$\alpha$ が $\triangle\mbox{ADB}$ に垂直な平面に近づくと $s\gt 0$ ， $t\to +0$ となり， $\alpha$ が $\triangle\mbox{ACB}$ に垂直な平面に近づくと $t\gt 0$ ， $s\to +0$ となる．

さて， $\rm A，B，C$ を通る円の方程式は
$x^2+y^2+\dfrac{a^2-c^2-s^2}{s}\cdot y-a^2=0$ （ $s\to 0$ で円は $x$ 軸に縮退）
となるので，
$K=d^2+t^2+\dfrac{a^2-c^2-s^2}{s}\cdot t-a^2=0$
とおくと， $K\gt 0$ で $\mbox{D}$ は円の外側， $K=0$ で $\mbox{D}$ は円周上， $K\lt 0$ で $\mbox{D}$ は円の内側にあるので $K$ の符号を考える．

$\alpha$ が $\triangle\mbox{ADB}$ に垂直な平面に近づくと $s\gt 0$ ， $t\to +0$ となるので $K\to d^2-a^2\lt 0$ となり， $\alpha$ が $\triangle\mbox{ACB}$ に垂直な平面に近づくと $t\gt 0$ ， $s\to +0$ となるので $a^2-c^2\gt 0$ から $K\to +\infty$ となり， $K$ は連続的に変化するので中間値の定理により $K=0$ となる $\alpha$ が存在し，このとき4点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}'$ ， $\mbox{D}'$ は同一円周上にある．

まぁ，円の方程式を出して正領域，負領域を考えるよりも円周角の定理の方がわかり易いかも．

[別解]
$\mbox{C}，\mbox{D}$ から $\mbox{AB}$ に下した垂線の足を $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ とすると，辺 $\mbox{AB}$ と辺 $\mbox{CD}$ は垂直ではないので $\mbox{P}\neq\mbox{Q}$ であり， $\triangle\mbox{ACB}$ ， $\triangle\mbox{ADB}$ は鋭角三角形なので， $\rm P，Q$ は線分 $\mbox{AB}$ 上（両端を除く）にあり，よって $\rm A，C'，D'，B$ もすべて相異なる．

$\angle\mbox{AC}'\mbox{B}-\angle\mbox{AD}'\mbox{B}$ の値は $\alpha$ を動かすと連続的に変化し， $\alpha$ が $\triangle\mbox{ADB}$ に垂直なときは　 $\angle\mbox{AC}'\mbox{B}-0\gt 0$ ，
$\triangle\mbox{ACB}$ に垂直なときは　 $-\angle\mbox{AD}'\mbox{B}-0\lt 0$
となるので，中間値の定理から
$\angle\mbox{AC}'\mbox{B}-\angle\mbox{AD}'\mbox{B}=0$
となる $\alpha$ が存在し，このときすべて相異なる4点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}'$ ， $\mbox{D}'$ は同一円周上にある．