https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Kouki_Ri

2025.08.11記

[2] 楕円 $x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$ と円 ${(x-a)}^2+y^2=b$ $(b\gt 0)$ が相異なる4点で交わるという．このとき点 $(a，b)$ のとりうる範囲を図示せよ．

2025.08.13記

[解答]
楕円上の点は $(\cos\theta，2\sin\theta)$ （ $0\leqq\theta\lt 2\pi$ ）と表すことができるので，
$(\cos\theta-a)^2+4\sin^2\theta=b$
を満たす $0\leqq\theta\lt 2\pi$ なる相異なる $\theta$ が4つ存在すれば良く， $\cos\theta=t$ とおくと
$3t^2+2at-a^2-4+b=0$
となるので，この2次方程式の2解が共に $-1\lt t\lt 1$ を満たせば良い．

よって軸から $-1\lt \dfrac{-a}{3} \lt 3$ ，端点から $3\pm 2a-a^2-4+b\gt 0$ ，判別式から
$a^2+3(a^2+4-b)\gt 0$ となり，整理して
$-3\lt a\lt 3$ ， $b\gt a^2\mp 2a+1$ ， $b\lt \dfrac{4}{3}a^2+4$
を満たす領域となる（図示略）．

包絡線を用いると次のようになる．

[大人の解答]
（途中から）
放物線群 $3t^2+2at-a^2-4+b=0$ の包絡線を求める．この式を $t$ で微分した $6t+2a=0$ により $t$ を消去すると包絡線 $b=\dfrac{4}{3}a^2+4$ が得られる．

包絡線に放物線 $b=(a-t)^2+4-4t^2$ が $a=t$ （ $-1\lt t\lt 1$ ）で接するように動かしたときに2回通過する領域を求めれば良い．

ただ直線通過に比べて放物線通過は感覚的な議論になってしまうので難しい．本問の場合は放物線 $b=(a-t)^2+4-4t^2$ の頂点が $b=4(1-a^2)$ 上にあること，放物線の $b$ 切片 $4-3t^2$ が $1\to 4\to 1$ と動くことに注意すれば良い（が答案としては書きにくい）．