https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Kouki_Ri

2025.08.11記

[1] $1$ から $n$ （ $n\geqq2$ ）までの番号が，順番に $1$ つずつ書かれた $n$ 枚の札が袋に入っている．この袋の中から札を $1$ 枚ずつ取り出し，つぎの(i)，(ii)のルールに従って $\mbox{A}$ または $\mbox{B}$ の箱に入れる．

(i)最初に取り出した札は $\mbox{A}$ の箱に入れる．

(ii)2番目以降に取り出した札は，その番号がそれまでに取り出された札の番号のどれよりも大きければ $\mbox{A}$ の箱に入れ，そうでないときは $\mbox{B}$ の箱に入れる．

$n$ 枚の札すべてを取り出し，箱に入れ終わったとき， $\mbox{B}$ の箱にちょうど1枚の札が入っている確率を求めよ．

2025.08.13記

[解答]
数字 $k$ が書かれた札のみが $\mbox{B}$ の箱に入るのは，
$1，2，…，k-1$ の順番に取り出され，その後、 $k+1，…，n$ の順番に取り出される途中に $k$ が取り出される場合に限るので，その確率は $\dfrac{n-k}{n!}$ となる．

$\displaystyle\sum_{k=1}^n (n-k)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} i=\dfrac{(n-1)n}{2}$ に注意すると，求める確率は $\dfrac{1}{n!}\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{1}{2\cdot(n-2)!}$ となる．

[うまい解答]
$n$ 枚の札を $1，2，…，n$ と並べ，そこから2枚選び，小さい数字が書かれた札を大きい数字が書かれた札の直後に置き，その順番に札を取り出した場合にのみ $\mbox{B}$ の箱にちょうど1枚の札が入る．

よって求める確率は $\dfrac{1}{n!}\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{1}{2\cdot(n-2)!}$ となる．