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2002年(平成14年)京都大学後期-数学(文系)[5]

2025.08.10記

[5] $xyz$ 空間内に半径と高さがともに1である直円柱があり，この直円柱の下底は $xy$ 平面上にあって，その中心は原点と一致している．点 $\mbox{P}$ ，点 $\mbox{Q}$ は点 $\mbox{A}(1，0，1)$ ，点 $\mbox{B}(0，1，0)$ を出発し，それぞれ上底，下底の周上を同じ方向に線分 $\mbox{PQ}$ の長さを変えないで1回転するものとする．このとき線分 $\mbox{PQ}$ が通過してできる曲面と，上底，下底で囲まれる立体の体積を求めよ．

2025.08.14記

[解答]
線分 $\mbox{AB}$ と平面 $z=k$ の交点は $\mbox{BA}$ を $k:(1-k)$ に内分する点であるから $(k，1-k，k)$ となる．よって立体の $z=k$ による断面積は $\pi\{k^2+(1-k)^2\}$ となるので，これを $0$ から $1$ まで積分した $\dfrac{2}{3}\pi$ が求める体積である．

京大51年では，問題文に $\mbox{P}，\mbox{Q}$ が与えられているのに，別の意味として $\mbox{P}，\mbox{Q}$ を定義しているので，これは良くない．

2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR では同様の問題をケプラー樽の公式で求めている．
シンプソンの公式（ケプラーの樽公式） - 球面倶楽部零八式 mark II を用いると， $k=\dfrac{1}{2}$ のときに断面積は $\dfrac{\pi}{2}$ だから [tex;V=\dfrac{1}{6}\left(\pi+4\cdot\dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=\dfrac{2}{3}\pi] となる．

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