https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Kouki_Bun

2025.08.10記

[4] 複素数平面上で原点を $\mbox{O}$ とし， $1$ の表す点を $\mbox{A}$ とする．この平面上の点 $\mbox{P}_1(z_1)$ ， $\mbox{P}_2(z_2)$ ， $\mbox{P}_3(z_3)$ ， $\cdots$ が次の条件(i)，(ii)，(iii)を満たしているとき， $|z_n|$ の最大値を求めよ．

(i) $\displaystyle z_1=\dfrac{i}{\sqrt{3}}$

(ii) $0^{\circ}\lt \arg z_{n+1}\lt \arg z_n\lt {360}^{\circ}$

(iii) 線分 $\mbox{AP}_n$ の中点を $\mbox{M}_n$ とするとき， $n\geqq1$ に対して $\triangle\mbox{OP}_n\mbox{P}_{n+1}$ ∽ $\triangle\mbox{OM}_n\mbox{A}$ が成立する．

ただしここでいう相似は，左辺の三角形と右辺の三角形の頂点が，書かれた順に対応しているものとする．

2025.08.14記

[解答]
$\triangle\mbox{OP}_n\mbox{P}_{n+1}$ ∽ $\triangle\mbox{OM}_n\mbox{A}$ であるから，
$z_{n+1}\cdot \dfrac{1+z_n}{2}=z_n$ ，つまり $\dfrac{1}{z_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{z_n}+\dfrac{1}{2}$ が成立する．よって

$\dfrac{1}{z_n}=\dfrac{1}{2^{n-1}}\left(\dfrac{1}{z_1}-1\right)+1$ $=\dfrac{2^{n-1}-1-\sqrt{3}i}{2^{n-1}}$

となる． $\dfrac{1}{z_n}$ の実部が正，虚部が負であるからその偏角は $270^{\circ}$ より大きく $360^{\circ}$ より小さい．このとき $z_n$ の偏角を $\theta_n$ とおくと，それは $360^{\circ}$ から $\dfrac{1}{z_n}$ の偏角を引いたものだから， $\tan\theta_n=\dfrac{\sqrt{3}}{2^{n-1}-1}$ を満たす鋭角 $\theta_n$ となり，これは正で単調減少であるから(ii)も満たしている．

$|z_n|$ の最大値を求めるには $\dfrac{1}{|z_n|}$ の最小値を求めれば良く，
$\dfrac{1}{|z_n|^2}=\dfrac{(2^{n-1}-1)^2+3}{2^{2n-2}}$ $=\dfrac{2^{2n-2}-2^n+4}{2^{2n-2}}$ $=4\left(\dfrac{1}{2^{n-1}}-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{3}{4}$
により $n=3$ のときに最小値 $\dfrac{3}{4}$ をとるので， $|z_n|$ の最大値は $n=3$ のときに $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ となる．