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2002年(平成14年)京都大学後期-数学(文系)[2]

2025.08.10記

[2] 次の連立不等式を満たす $xy$ 平面内の領域を $D$ とする．

$4y+x-10\leqq0$ ， $y-x\geqq0$ ， $y+4x+5\geqq0$

点 $P(x，y)$ が領域 $D$ を動くとき， $F=-2(x^3+y^3)+3(x^2+y^2)-6xy(x+y-1)+12(x+y)-5$ の最大値と最小値を求めよ．

2025.08.14記

[解答]
$F=-2(x+y)^3+3(x+y)^2+12(x+y)-5$ である．

$x+y=X$ とおくと領域 $D$ において $\dfrac{X}{2}\leqq y\leqq\min\left\{\dfrac{4X+5}{3}，\dfrac{10-X}{3}\right\}$ が成立する．よって $\dfrac{X}{2}=\dfrac{4X+5}{3}$ から $X=-2$ ， $\dfrac{X}{2}=\dfrac{10-X}{3}$ から $X=4$ となることに注意すると， $-2\leqq X\leqq 4$ が成立する．よってこの範囲における $F(X)=-2X^3+3X^2+12X-5$ の最大値と最小値をお泊めれば良い．

$F'(x)=-6(X+1)(X-2)$ に注意して3次関数の箱を考えると， $F(-1)=F(3.5)$ ， $F(-2.5)=F(2)$ であるから，
最大値は $F(2)=15$ ，最小値は $F(4)=-37$ となる．

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