https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Bunkei

2025.08.11記

[5] 4個の整数 $1$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ は $1\lt a\lt b\lt c$ を満たしている．これらの中から相異なる2個を取り出して和を作ると， $1+a$ から $b+c$ までのすべての整数の値が得られるという．
$a$ ， $b$ ， $c$ の値を求めよ．

2025.08.11記
（2025.10.19追記[ここから]
また， $1 \lt a \lt b \lt c$ という条件から $1+a\lt 1+b\lt \{a+b，1+c\} \lt a+c\lt b+c$ となることがわかりますが， $a+b$ と $1+c$ のどちらが大きいかは $1 \lt a \lt b \lt c$ からだけではわかりません（2007年(平成19年)京都大学-数学(理系乙)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 参照）．
[ここまで]）

[解答]
和は $1+a，1+b$ ， $1+c$ ， $a+b$ ， $a+c$ ， $b+c$ の $6$ 通り考えられ，
$1+a\lt 1+b\lt 1+c\lt a+c\lt b+c$ ，
$1+a\lt 1+b\lt a+b\lt a+c\lt b+c$
であるから， $1+b=2+a$ ，すなわち $b=a+1$ でなければならない．

このとき和は， $c-b=k(\gt 0)$ （ $c=a+k+1$ ）とおくと和は
$1+a，2+a$ ， $2+k+a$ ， $1+2a$ ， $1+k+2a$ ， $2+k+2a$
の $6$ 通りとなる．ここで

ここで $(2+2a+k)-(1+a)=1+a+k$ であるから， $6$ 個の数字で $1+a$ から $2+k+2a$ までのすべての整数の値が得られるためには
$1+a+k\leqq 5$ ，つまり $a+k\leqq 4$ が必要であり，よって $(a，k)=(2，1)，(2，2)，(3，1)$ となる必要がある．