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2002年(平成14年)京都大学前期-数学(文系)[4]

2025.08.11記

[4] $0\leqq\theta\lt 360$ とし， $a$ は定数とする． $\cos3\theta^{\circ}-\cos2\theta^{\circ}+3\cos\theta^{\circ}-1=a$ を満たす $\theta$ の値はいくつあるか． $a$ の値によって分類せよ．

2025.08.11記

[解答]
$x=\cos\theta^{\circ}$ とおくと，与えられた方程式は $f(x)=4x^3-2x^2=a$ となるので $y=f(x)$ と $y=a$ の $|x|\leqq 1$ における交点の数を数え， $x=\pm 1$ には $\theta$ が $1$ つ， $x\neq\pm 1$ には $\theta$ が $2$ つ対応することに注意すると， $y=f(x)$ のグラフを描くことにより（省略），

$a\lt -6$ のとき $0$ 個，
$a=-6$ のとき $1$ 個，
$-6\lt a\lt -\dfrac{2}{27}$ のとき $2$ 個，
$a=-\dfrac{2}{27}$ のとき $4$ 個，
$-\dfrac{2}{27}\lt a\lt 0$ のとき $6$ 個，
$a=0$ のとき $4$ 個，
$0\lt a\lt 2$ のとき $2$ 個，
$a=2$ のとき $1$ 個，
$2\lt a$ のとき $0$ 個

となる．

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