https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2002/Bunkei

2025.08.11記

[2] 四角形 $\mbox{ABCD}$ を底面とする四角錐 $\mbox{OABCD}$ は $\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}=\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}$ を満たしており， $0$ と異なる4つの実数 $p$ ， $q$ ， $r$ ， $s$ に対して4点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ を $\overrightarrow{\mbox{OP}}=p\overrightarrow{\mbox{OA}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=q\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OR}}=r\overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OS}}=s\overrightarrow{\mbox{OD}}$ によって定める．このとき $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ が同一平面上にあれば $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{s}$ が成立することを示せ．

2025.08.11記

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{OM}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}$ $=\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}$
となる点 $\mbox{M}$ に対し， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ を通る平面と $\mbox{OM}$ の交点を $\mbox{N}$ とすると
$\overrightarrow{\mbox{ON}}=k(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OC}})=k(\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OD}})$
を満たす実数 $k\neq 0$ が存在する（ $k=0$ となるには $p=q=r=s=0$ でなければならないが，これらは $0$ でない）．

このとき
$\overrightarrow{\mbox{ON}}=\dfrac{k}{p}\overrightarrow{\mbox{OP}}+\dfrac{k}{r}\overrightarrow{\mbox{OR}}$ $=\dfrac{k}{q}\overrightarrow{\mbox{OQ}}+\dfrac{k}{s}\overrightarrow{\mbox{OS}}$
であり， $\mbox{N}$ は直線 $\mbox{PR}$ ，直線 $\mbox{QS}$ 上にあるので
$\dfrac{k}{p}+\dfrac{k}{r}=\dfrac{k}{q}+\dfrac{k}{s}=1$
が成立する． $k\neq 0$ により
$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{s}$
が成立する．