2002年(平成14年)京都大学前期-数学(文系)[1]

2025.08.11記

[1] 数列 $\{a_n\}$ の初項 $a_1$ から第 $n$ 項 $a_n$ までの和を $S_n$ と表す．この数列が $a_1=0$ ， $a_2=1$ ， ${(n-1)}^2a_n=S_n$ $(n\geqq1)$ を満たすとき，一般項 $a_n$ を求めよ．

2025.08.11記

[解答]
$n^2a_{n+1}-(n-1)^2a_n=a_{n+1}$ （ $n\geqq 1$ ）
であるから， $n\geqq 2$ のとき
$(n+1)a_{n+1}=(n-1)a_n$ ，つまり
$(n+1)na_{n+1}=n(n-1)a_n=\cdots=2\cdot 1\cdot a_2=2$
が成立する．よって $a_1=0$ ， $a_n=\dfrac{2}{n(n-1)}$ （ $n\geqq 2$ ）となる．

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