https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Rikei

2025.08.02記

[4] $xyz$ 空間内の正八面体の頂点 $\mbox{P}_1，\mbox{P}_2，\cdots，\mbox{P}_6$ とベクトル $\overrightarrow{v}$ に対し， $k \neq m$ のとき $\overrightarrow{\mbox{P}_k\mbox{P}_m}\cdot\overrightarrow{v}\neq0$ が成り立っているとする．このとき， $k$ と異なるすべての $m$ に対し $\overrightarrow{\mbox{P}_k\mbox{P}_m}\cdot\overrightarrow{v}\lt 0$ が成り立つような点 $\mbox{P}_k$ が存在することを示せ．

2025.08.02記
$\overrightarrow{v}$ との内積が一定である点の集合は $\overrightarrow{v}$ を法線ベクトルとする平面であり，それを $\overrightarrow{v}$ 向きに動かすと内積の値は増加する．

[解答]
原点を $\mbox{O}$ とする．条件により $\overrightarrow{\mbox{OP}_m}\cdot\overrightarrow{v}$ （ $m=1，…，6$ ）の値は全て異なり，その最大値を与える添字を $k$ とすると $k$ と異なるすべての $m$ に対し
$\overrightarrow{\mbox{P}_k\mbox{P}_m}\cdot\overrightarrow{v}$ $=\overrightarrow{\mbox{OP}_m}\cdot\overrightarrow{v}-\overrightarrow{\mbox{OP}_k}\cdot\overrightarrow{v}$ $\lt 0$
が成り立つ．