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2001年(平成13年)京都大学前期-数学(理系)[3]

2025.08.02記

[3] 整数 $n$ に対し $f(n)=\dfrac{n(n-1)}{2}$ とおき， $a_n=i^{f(n)}$ と定める．ただし， $i$ は虚数単位を表す．このとき， $a_{n+k}=a_n$ が任意の整数 $n$ に対して成り立つような正の整数 $k$ をすべて求めよ．

2025.08.02記

[解答]
$2f(n+k)-2f(n)$ $=(n+k)(n+k-1)-n(n-1)$ $=2nk+k^2-k$ が任意の整数 $n$ に対して $8$ の倍数であれば良く，よって
$n=1$ のときの $k(k+1)$ が $8$ の倍数かつ $n$ が $1$ 変化したときの増分 $2k$ も $8$ の倍数であれば良い．

このとき後者から $k$ は $4$ の倍数であり，これを前者に適用すると $k+1$ が奇数であることから $k$ が $8$ の倍数であることが必要十分条件となる．

[うまい解答]
$f(n+8)-f(n)=4(2n+7)$ であるから $a_{n+8}=a_n$ が任意の整数 $n$ に対して成り立つ．この周期 $8$ より短い周期があるならば，それは $8$ の約数である． $a_1=1$ ， $a_2=i$ ， $a_3=-i$ ， $a_4=-1$ ， $a_5=-1$ であるから周期 $1，2，4$ は持たない．よって最小周期は $8$ であり，よって $k$ が $8$ の倍数であることが必要十分条件となる．

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