2001年(平成13年)京都大学前期-数学(理系)[2]

2025.08.02記

[2] 未知数 $x$ に関する方程式 $x^5+x^4-x^3+x^2-(a+1)x+a=0$ が，虚軸上の複素数を解に持つような実数 $a$ をすべて求めよ．

2025.08.02記

[解答]
虚軸上の複素数解を $ti$ （ $t$ は実数）とおくと
$t^5i+t^4+t^3i-t^2-(a+1)ti+a$ $=(t^4-t^2+a)+\{t^5+t^3-(a+1)t\}i=0$
が成立し， $t，a$ が実数であることから
$t^4-t^2+a=t^5+t^3-(a+1)t=0$
となる． $a$ を消去して $2t^5-t=0$ となるので $t=0，\pm\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$ となり，これらに対応して
$a=0，\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2}$
となる．

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