https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Rikei

2025.08.02記

[1] $xy$ 平面上の曲線 $C:y=x^3$ 上の点 $\mbox{P}$ における接線を， $\mbox{P}$ を中心にして反時計回りに45 $^{\circ}$ 回転して得られる直線を $L$ とする． $C$ と $L$ が，相異なる3点で交わるような $\mbox{P}$ の範囲を図示せよ．

2025.08.02記

[解答]
$f(x)=x^3$ とおく．点 $\mbox{P}(t，t^3)$ を通り傾き $m$ の直線 $y=m(x-t)+t^3$ と $y=x^3$ が相異3実解をもつ条件は $x^3-m(x-t)-t^3=(x-t)\{x^2+tx+t^2-m\}=0$ により $x^2+tx+t^2-m=0$ が $t$ とは異なる相異2実解をもつ条件と同値である．よって $3t^2\neq m$ かつ $t^2-4(t^2-m)\gt 0$ となり， $f'(t)=3t^2$ を用いて整理すると $m\neq f'(t)$ かつ $m \gt \dfrac{f'(t)}{4}$ となる．

ここで $L$ は傾き $f'(t)$ が正または $0$ の接線を接点中心に反時計回りに45 $^{\circ}$ 回転したものであるから，その傾きが正であるならば
$m\gt f'(t)\gt\dfrac{f'(t)}{4}$ を満たし，題意を満たす．またその傾きが負または $0$ であるならば $m \leqq 0\leqq \dfrac{f'(t)}{4}$ となり， $m \gt \dfrac{f'(t)}{4}$ に反するので題意を満たさない．よって求める必要十分条件は「接線を接点中心に反時計回りに45 $^{\circ}$ 回転したものの傾きが正」すなわち「接線の傾きの絶対値が $1$ 未満」となる．

よって $f'(t)=3t^2\lt 1$ から $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\lt t\lt \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ となるので，求める範囲は
$y=x^3\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\lt t\lt \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ となる（図示略）．