2001年(平成13年)京都大学前期-数学(理系)

[1] 平面上の曲線 上の点 における接線を， を中心にして反時計回りに45 回転して得られる直線を とする． と が，相異なる3点で交わるような の範囲を図示せよ．

[2] 未知数 に関する方程式 が，虚軸上の複素数を解に持つような実数 をすべて求めよ．

[3] 整数 に対し とおき， と定める．ただし， は虚数単位を表す．このとき， が任意の整数 に対して成り立つような正の整数 をすべて求めよ．

[4] 空間内の正八面体の頂点 とベクトル に対し， のとき が成り立っているとする．このとき， と異なるすべての に対し が成り立つような点 が存在することを示せ．

[5] を 以上の整数とする． 以上の整数 に対し，次の条件(イ)，(ロ)をみたす複素数の組 の個数を とする．

(イ) に対し， かつ， ．

(ロ) ．

このとき，次の問いに答えよ．

(1) を求めよ．

(2) を ， の一方または両方を用いて表せ．

(3) を求めよ．

[6] 次の極限値を求めよ．