https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Kouki_Ri

2025.08.02記

[6] $xy$ 平面上の単位円 $C_1$ と，条件 $\displaystyle -1\lt a\lt -\dfrac{1}{2}$ をみたす実数 $a$ に対し，点 $:\mbox{R}(a，0)$ を考える． $C_1$ 上の点 $\mbox{P}$ における $C_1$ の接線と， $\mbox{R}$ を通りこの接線と直交する直線との交点を $\mbox{Q}$ とする．点 $\mbox{P}$ が $C_1$ 上を一周するときに， $\mbox{Q}$ が描く曲線を $C_2$ とする． $C_2$ 上の点の $x$ 座標の最小値が $-1$ より小さいことを示し， $C_2$ で囲まれる図形の面積を求めよ．

2025.08.10記

[解答]
$\mbox{P}(\cos\theta，\sin\theta)$ （ $-\pi\leqq\theta\lt \pi$ ）とおくと
$\mbox{Q}$ は $(x-a)\sin\theta=y\cos\theta$ と $x\cos\theta+y\sin\theta=1$ の交点であるから
$\mbox{Q}(a+(1-a\cos\theta)\cos\theta，(1-a\cos\theta)\sin\theta)$
となる．

$\mbox{Q}$ の $x$ 座標に1を加えたものは $-a\left(\cos\theta-\dfrac{1}{2a}\right)^2$ $+\dfrac{(2a+1)^2}{4a}$ となるので $a\lt 0$ ， $2a+1\neq 0$ からその最小値は正となり，よって $\mbox{Q}$ の $x$ 座標の最小値は $-1$ より小さい．

$\overrightarrow{\mbox{RQ}}$ の掃く面積を求めれば
$2\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{1}{2}(1-a\cos^2\theta)\, d\theta$ $=\pi+a\cdot 0+a\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi(2+a^2)}{2}$
となる．

$\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^2\theta\,d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{2}\,d\theta=\dfrac{\pi}{2}$
である．