https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Kouki_Ri

2025.08.02記

[5] 行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ および実数 $s$ に対し，行列を用いて表された $x$ ， $y$ に関する2つの連立一次方程式

(i) $A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}$ ，(ii) $A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5-s \end{pmatrix}$

について，次の条件 $(\ast)$ を考える．

$(\ast)$ 方程式(i)には解が存在して，方程式(ii)には解が存在しない．

このとき，次の問に答えよ．

(1) 条件 $(\ast)$ が成り立つとき， $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ は，いずれも $\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}$ の実数倍であることを示せ．

(2) 条件 $(\ast)$ をみたす2つの連立方程式を作ることができるための $s$ の条件を求めよ．

2025.08.09記

[大人の解答]
$\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 4 \\ 5-s \end{pmatrix}$ はともに零ベクトルではないことに注意する．

(1) $\mbox{Im}A$ $=\mbox{Span}\left\{\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}\right\}$ となることが必要で，このとき
$A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ $\in\mbox{Span}\left\{\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}\right\}$ ，
$A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ $\in\mbox{Span}\left\{\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}\right\}$
となり，題意は成立する．

(2) $\begin{pmatrix} 4 \\ 5-s \end{pmatrix}\not\in\mbox{Span}\left\{\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}\right\}$ だから
$\mbox{det}\,\begin{pmatrix} s & 4 \\ 1-s & 5-s \end{pmatrix}\neq 0$ により $s\neq\dfrac{9\pm\sqrt{65}}{2}$
となる．

2025.08.10記

[解答]
(1) $A$ に逆行列が存在すると(ii)に解が存在することになるので $A^{-1}$ は存在せず，このとき $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ $\parallel\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ となるので $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\alpha\vec{e}$ ， $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\beta\vec{e}$ を満たす $\vec{e}\neq\vec{0}$ が存在し，このとき
$A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=(\alpha x+\beta y)\vec{e}=\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}\neq\vec{0}$
が解を持つので $(\alpha，\beta)\neq (0，0)$ であり $\vec{e}=\lambda\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}$ を満たす定数 $\lambda\neq 0$ が存在する．

このとき $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\alpha\lambda\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\beta\lambda\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}$ となるので $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ は，いずれも $\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}$ の実数倍である．

(2) (1)により
$A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=(\alpha x+\beta y)\lambda\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}$
となるので $(\alpha，\beta)\neq (0，0)$ より例えば $(x，y)=\left(\dfrac{\alpha}{\lambda(\alpha^2+\beta^2)}，\dfrac{\beta}{\lambda(\alpha^2+\beta^2)}\right)$ という解が存在する．

また， $x，y$ が動くと $(\alpha，\beta)\neq (0，0)$ より $(\alpha x+\beta y)\lambda$ は全実数をとり得るので
$A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\vec{c}$ が解を持つことと $\vec{c}\parallel\begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}$ が同値となるため，(ii) が解を持たない必要十分条件は
$\begin{pmatrix} 4 \\ 5-s \end{pmatrix}\not\parallel \begin{pmatrix} s \\ 1-s \end{pmatrix}$
となることであり，よって $s(5-s)-4(1-s)=-(s^2-9s+4)\neq 0$ である．つまり $s\neq\dfrac{9\pm\sqrt{65}}{2}$ となる．