https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Kouki_Ri

2025.08.02記

[4] 負でない実数 $a$ に対し， $0 \leqq r \lt 1$ で， $a-r$ が整数となる実数 $r$ を $\{ a \}$ で表す．すなわち， $\{ a \}$ は， $a$ の小数部分を表す．

(1) $\{ n\log_{10}2 \} \lt 0.02$ となる正の整数 $n$ を1つ求めよ．

(2) $10$ 進法による表示で $2^n$ の最高位の数字が $7$ となる正の整数 $n$ を $1$ つ求めよ．

ただし， $0.3010\lt \log_{10}2\lt 0.3011$ ， $0.8450\lt \log_{10}7\lt 0.8451$ である．

2025.08.09記
京大51年を始め多くの解答では(2)で最小の $n$ を求めようとしているのだが，そのような解答は(1)の誘導の意味を理解していない．最小の $n$ を求めようとするならば東京出版の $\mbox{C}\ast\ast\ast$ は妥当だろうが，誘導の意味を理解していれば本問は $\mbox{A}\ast$ のはず（まぁ誘導の意図を見抜くのが難しいと言えばそうなのだが，受験報告ではちゃんと見抜いている受験生がいる）．

[解答]
(1) $3.01\lt 10\log_{10} 2\lt 3.011$ より $0.01\lt \{10\log_{10} 2\} \lt 0.011$ より例えば $n=10$ とすれば良い．

(2) $0.9030\lt \log_{10} 8\lt 0.9033$ であるから， $0.8451\lt \{ n\log_{10}2 \} \lt 0.9030$ となる $n$ を1つ求めれば十分．
$0.6020\lt \{2\log_{10}2\}\lt 0.6022$ であり，(1)より $0.25\lt \{250\log_{10}2\}\lt 0.275$
であるから，
$0.8520\lt \{252\log_{10}2\}\lt 0.877$
が成立するので例えば $n=252$ とすれば良い．

$2^{252}=7.2370056…\times 10^{75}$ である．

ちなみに最高位の桁が初めて登場する数は次のようになる．
$2^7=128$ ，
$2^1=2$ ，
$2^5=32$ ，
$2^2=4$ ，
$2^9=512$ ，
$2^6=64$ ，
$2^{46}=70368744177664$ ，
$2^3=8$ ，
$2^{53}=9007199254740992$

$n=46$ は
$0.8060\lt \{6\log_{10}2\}\lt 0.8066$
$0.04\lt \{40\log_{10}2\}\lt 0.044$
から
$0.8460\lt \{46\log_{10}2\}\lt 0.8506$
が成立するので最高位の数字が $7$ となることがわかる． $n$ の1の位を決めて，次に10より高位を決めている訳である．