https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Kouki_Ri

2025.08.02記

[3] 複素数平面上の単位円に内接する正五角形で， $1$ がその頂点の $1$ つとなっているものを考える．この正五角形の辺を延長してできる直線の交点のうち，もとの正五角形の頂点以外のもので，実部，虚部がともに正であるものを $z$ とする．

(1) $\displaystyle\alpha=\cos\dfrac{2\pi}{5}+i\sin\dfrac{2\pi}{5}$ とするとき， $\alpha$ を用いて $z$ を表せ．ただし， $i$ は虚数単位を表す．

(2) 3点 $1$ ， $\alpha^2$ ， $z$ を通る円は，原点を通ることを示せ．

2025.08.09記

[解答]
(1) $\triangle 1\alpha z$ は $1\alpha$ を底辺とする二等辺三角形であり， $\angle1\alpha z=\angle 1\alpha\alpha^3=\dfrac{2}{5}\pi$ ， $\angle\alpha 1z=\angle \alpha 1\alpha^3=\dfrac{2}{5}\pi$ であるから $1，z，\alpha，\alpha^3$ からなる四角形は菱形でである．よって $1+\alpha=z+\alpha^3$ となり $z=1+\alpha-\alpha^3$ となる．

(2) $\angle 1z\alpha^2+\angle \alpha^2 0 1=\dfrac{1}{5}\pi+\dfrac{4}{5}\pi=\pi$ であるから四角形 $01z\alpha^2$ は円に内接する四角形となり，よって3点 $1$ ， $\alpha^2$ ， $z$ を通る円は，原点を通る．

$z\alpha\parallel 1\alpha^3$ ， $z1\parallel \alpha\alpha^3$ だから $1，z，\alpha，\alpha^3$ からなる四角形は平行四辺形，というだけで良かったな．