https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Kouki_Ri

2025.08.02記

[2] 正の整数 $n$ に対し，多項式 $f_n(x)$ を， $n=1$ に対しては $f_1(x)=1$ とし， $n\geqq2$ のときは $f_n(x)=(1+x)f_{n-1}(x^2)$ で帰納的に定める． $g_n(x)=(1-x)f_n(x)$ とおくとき， $g_n(x)$ を求めよ．また， $n\to\infty$ のとき $f_n(x)$ が収束する実数 $x$ の範囲を求めよ．

2025.08.09記

[解答]
$g_1(x)=(1-x)f_1(x)=1-x$ ， $g_{n+1}(x)=(1-x)(1+x)f_{n-1}(x^2)=(1-x^2)f_{n-1}(x^2)=g_n(x^2)$ であるから， $g_n(x)=1-x^{2^{n-1}}$ である．

よって
$f_n(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{2^{n-1}-1}$ $=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1-x^{2^{n-1}}}{1-x} & (x\neq 1) \\ 2^{n-1} & (x=1) \end{array}\right.$
となる． $f_n(-1)=0$ に注意すると $f_n(x)$ が収束する実数 $x$ の範囲は $-1\leqq x\lt 1$ となる．