2001年(平成13年)京都大学後期-数学(理系)

[2] 正の整数 に対し，多項式 を， に対しては とし， のときは で帰納的に定める． とおくとき， を求めよ．また， のとき が収束する実数 の範囲を求めよ．

[3] 複素数平面上の単位円に内接する正五角形で， がその頂点の つとなっているものを考える．この正五角形の辺を延長してできる直線の交点のうち，もとの正五角形の頂点以外のもので，実部，虚部がともに正であるものを とする．

(1) とするとき， を用いて を表せ．ただし， は虚数単位を表す．

(2) 3点 ，， を通る円は，原点を通ることを示せ．

[4] 負でない実数 に対し， で， が整数となる実数 を で表す．すなわち， は， の小数部分を表す．

(1) となる正の整数 を1つ求めよ．

(2) 進法による表示で の最高位の数字が となる正の整数 を つ求めよ．

ただし，， である．

[5] 行列 および実数 に対し，行列を用いて表された ， に関する2つの連立一次方程式

(i) ，(ii)

について，次の条件 を考える．

方程式(i)には解が存在して，方程式(ii)には解が存在しない．

このとき，次の問に答えよ．

(1) 条件 が成り立つとき，， は，いずれも の実数倍であることを示せ．

(2) 条件 をみたす2つの連立方程式を作ることができるための の条件を求めよ．

[6] 平面上の単位円 と，条件 をみたす実数 に対し，点 を考える． 上の点 における の接線と， を通りこの接線と直交する直線との交点を とする．点 が 上を一周するときに， が描く曲線を とする． 上の点の 座標の最小値が より小さいことを示し， で囲まれる図形の面積を求めよ．