https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Kouki_Bun

2025.08.02記

[5] 青玉 $a$ 個，赤玉 $b$ 個，白玉 $c$ 個，合計 $N=a+b+c$ 個の玉が入っている袋がある．この袋から無作為に1個の玉を取り出し，色を見て袋にもどす．これを $n$ 回繰り返す．取り出される玉の色の数の期待値を $E_n$ とするとき，

$\displaystyle E_n=3-\left(\dfrac{a+b}{N}\right)^n-{\left(\dfrac{b+c}{N}\right)}^n-{\left(\dfrac{c+a}{N}\right)}^n$ を示せ．

本問のテーマ

包除原理

2025.08.10記

[解答]
$Q_1=\left(\dfrac{a}{N}\right)^n+\left(\dfrac{b}{N}\right)^n+\left(\dfrac{c}{N}\right)^n$ ，
$Q_2=\left(\dfrac{a+b}{N}\right)^n+\left(\dfrac{b+c}{N}\right)^n+\left(\dfrac{c+a}{N}\right)^n$
とおくと，

玉の色が1色である確率は $p_1=Q_1$ ，
玉の色が2色である確率は $p_2=Q_2-2Q_1$ ，
玉の色が3色である確率は $p_3=1-p_1-p_2$

であるから，
$E_n=p_1+2p_2+3p_3=3-2p_1-p_2=3-2Q_1-Q_2+2Q_1=3-Q_2$
となり，題意は示された．