https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Kouki_Bun

2025.08.02記

[3] $xy$ 平面上の曲線 $C_1:y=x^3+2x^2+2$ 上の点 $\mbox{P}$ における接線を $L$ とする． $L$ と曲線 $C_2:y=3x^2$ とで囲まれる図形の面積の最小値を求めよ．

2025.08.10記

[解答]
$\mbox{P}(t，t^3+2t^2+2)$ とおくと $L:y=(3t^2+4t)x-2t^3-2t^2+2$ となるので，これと $C_2$ の交点の $x$ 座標を $\alpha，\beta$ とおくと， $\alpha，\beta$ は
$3x^2-(3t^2+4t)x+2t^3+2t^2-2=0$
の2解である．

$(\beta-\alpha)^2=\dfrac{1}{9}(9t^4-8t^2+24)$ $=\dfrac{1}{9}\left\{9\left(t^2-\dfrac{4}{9}\right)^2+\dfrac{200}{9}\right\}\gt 0$
により， $L$ と $C_2$ は任意の $\mbox{P}$ に対して相異なる2点で交わり，囲まれる部分の面積 $S$ は $\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{2}$ となる．

よって $S$ は $t=\pm\dfrac{2}{3}$ のときに最小値 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{200}{81}\right)^{\frac{3}{2}}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{10^3\cdot 2\sqrt{2}}{9^3}$ $=\dfrac{10^3}{9^3}\sqrt{2}$ をとる．

$C_1$ の式は判別式が複2次式となるように選ばれている．