https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Kouki_Bun

2025.08.02記

[2] $1$ または $-1$ からなる数列 $a_1，a_2，\cdots，a_n$ において，そのうちの $m$ 個が $1$ で， $(n-m)$ 個は $-1$ とする． $k=1，2，\cdots，n$ に対し， $b_k=\dfrac{1}{2}\left(ka_k+\displaystyle\sum_{j=1}^ka_j\right)$ とおく．集合 $\{b_k|1 \leqq k \leqq n\}$ を求めよ．

2025.08.10記
$b_k=\dfrac{1}{2}\left(ka_k+\displaystyle\sum_{j=1}^ka_j\right)$ のままだと意味がわかりにくいが．これを
$b_k=\displaystyle\sum_{j=1}^k \dfrac{a_j+a_k}{2}$ と変形すると意味が見えてくる．

[解答]
$b_k=\displaystyle\sum_{j=1}^k \dfrac{a_j+a_k}{2}$ であるから， $a_k=1$ のときの $b_k$ は $a_1〜a_k$ における $1$ の個数， $a_k=-1$ のときの $b_k$ は $a_1〜a_k$ における $-1$ の個数の $-1$ 倍となる．ここで $a_k$ と同じものの数を $a_k$ も含めてカウントするので個数は $1$ 以上となり， $0$ にはならないことに注意しておく．

ここで $k$ が $1$ から $n$ まで変化するとき $1$ の個数は $1$ から $m$ まで変化し，集合に $1$ から $m$ まで追加され， $-1$ の個数は $1$ から $n-m$ まで変化し，集合に $-1$ から $-(n-m)$ まで追加される．

よって求める集合は $-(m-n)$ 以上 $m$ 以下の $n+1$ 個の整数から $0$ を除いた $n$ 個の整数の集合となる．