https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Kouki_Bun

2025.08.02記

[1] $xy$ 平面上のベクトル $\overrightarrow{u}$ ， $\overrightarrow{v}$ について， $|\overrightarrow{u}|=1$ ， $|\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}|=1$ ， $|2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|=\sqrt{2}$ が成り立っているとする．原点を $\mbox{O}$ とし，点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を $\overrightarrow{\mbox{OP}}=\overrightarrow{u}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\overrightarrow{v}$ で定めるとき， $\triangle\mbox{OPQ}$ の面積を求めよ．

2025.08.10記

[うまい解答]
$(5\overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v})$ $+(-6\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v})$ $=\vec{0}$
に注意すると，
$|5\overrightarrow{u}|=5$ ， $|\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}|=1$ ， $|-6\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}|=3\sqrt{2}$ を3辺とする三角形の面積は $\triangle\mbox{OPQ}$ の面積の面積の $5\times 3=15$ 倍である．

よってヘロンの公式から
$\triangle\mbox{OPQ}$ $=\dfrac{1}{15}$ $\cdot\dfrac{1}{4}\sqrt{(6+3\sqrt{2})(6-3\sqrt{2})(3\sqrt{2}-4)(3\sqrt{2}+4)}$ $=\dfrac{1}{15}\cdot\dfrac{1}{4}\sqrt{18\cdot 2}$ $=\dfrac{1}{10}$
となる．

ちょっとマニアック過ぎたか．この面積が $15$ 倍になるのは絵を描けばすぐにわかるが， $\overrightarrow{u}$ ， $\overrightarrow{v}$ を基底と考えると $(0，0)$ ， $(5，0)$ ， $(6，3)$ の3頂点からなる三角形の面積は，底辺 $5$ ，高さ $3$ なので，底辺 $1$ ，高さ $1$ の三角形の面積の $15$ 倍となることからもわかる．

[別解]
$|\overrightarrow{u}|^2=1$ ，
$|\overrightarrow{u}|^2+6\overrightarrow{u}\bullet\overrightarrow{v}+9|\overrightarrow{v}|^2=1$ ，
$4|\overrightarrow{u}|^2+4\overrightarrow{u}\bullet\overrightarrow{v}+1|\overrightarrow{v}|^2=2$
から
$|\overrightarrow{u}|^2=1$ ， $|\overrightarrow{v}|^2=\dfrac{2}{5}$ ， $\overrightarrow{u}\bullet\overrightarrow{v}=-\dfrac{3}{5}$
が得られ，
$\triangle\mbox{OPQ}=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{u}|^2|\overrightarrow{v}|^2-(\overrightarrow{u}\bullet\overrightarrow{v})^2}$ $=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{25}}$ $=\dfrac{1}{10}$
となる．