2001年(平成13年)京都大学後期-数学(文系)

[1] 平面上のベクトル ， について，，， が成り立っているとする．原点を とし，点 ， を ， で定めるとき， の面積を求めよ．

[2] または からなる数列 において，そのうちの 個が で， 個は とする． に対し， とおく．集合 を求めよ．

[3] 平面上の曲線 上の点 における接線を とする． と曲線 とで囲まれる図形の面積の最小値を求めよ．

[4] 複素数平面上の単位円に内接する正五角形で， がその頂点の つとなっているものを考える．この正五角形の辺を延長してできる直線の交点のうち，もとの正五角形の頂点以外のもので，実部，虚部がともに正であるものを とする．

(1) とするとき， を用いて を表せ．ただし， は虚数単位を表す．

(2)3点 ，， を通る円は，原点を通ることを示せ．

[5] 青玉 個，赤玉 個，白玉 個，合計 個の玉が入っている袋がある．この袋から無作為に1個の玉を取り出し，色を見て袋にもどす．これを 回繰り返す．取り出される玉の色の数の期待値を とするとき，

を示せ．