https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Bunkei

2025.08.02記

[5] $xy$ 平面内の $-1 \leqq y \leqq 1$ で定められる領域 $D$ と，中心が $\mbox{P}$ で原点 $\mbox{O}$ を通る円 $C$ を考える． $C$ が $D$ に含まれるという条件のもとで， $\mbox{P}$ が動きうる範囲を図示し，その面積を求めよ．

本問のテーマ

焦点と準線を用いた放物線の定義

2025.08.09記
幾何的には焦点が原点で準線が $y=k$ （ $0\lt |k|\leqq 1$ ）となる放物線群を考えることになるが，文系では範囲外．

[解答]
$\mbox{P}(x，y)$ とすると， $\mbox{P}$ の動きうる範囲は
$-1\leqq y-\sqrt{x^2+y^2}$ かつ $y+\sqrt{x^2+y^2}\leqq 1$
を満たす範囲である．よって
$\sqrt{x^2+y^2}\leqq 1+y$ かつ $\sqrt{x^2+y^2}\leqq 1-y$ ，
つまり $x^2\leqq 1+2y$ かつ $x^2\leqq 1-2y$ を経由して
$\dfrac{x^2-1}{2}\leqq y\leqq \dfrac{1-x^2}{2}$
が求める範囲である（図示略）．

その面積は $4\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1-x^2}{2}\, dx=\dfrac{4}{3}$ となる．