https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Bunkei

2025.08.02記

[4] $n$ を2以上の整数とする．実数 $a_1，a_2，\cdots，a_n$ に対し， $S=a_1+a_2+\cdots+a_n$ とおく． $k=1，2，\cdots，n$ について，不等式 $-1\lt S-a_k\lt 1$ が成り立っているとする． $a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n$ のとき，すべての $k$ について $|a_k|\lt 2$ が成り立つことを示せ．

本問のテーマ

平均値

2025.08.09記
まずは評価が大雑把な失敗例．

$a_1，a_2，\cdots，a_n$ の平均値を $m=\dfrac{S}{n}$ とおき， $a_1，a_2，\cdots，a_n$ に対して $a_k$ を除いた $n-1$ 個の平均値を $T_k=\dfrac{S-a_k}{n-1}$ （ $k=1，2，…，n$ ）とおくと
$\displaystyle\sum_{k=1}^n T_k=S=nm$
が成立する．ここで $-1\lt (n-1)T_n=S-a_k\lt 1$ 及びそれらを全ての $k$ で加えた $-n\lt nS-S\lt 1$ から
$|m|\lt\dfrac{1}{n-1}$ ， $|T_k|\lt\dfrac{1}{n-1}$ （ $k=1，2，…，n$ ）が成立する．ここで， $m=\dfrac{(n-1)T_k+a_k}{n}$ であるから $a_k=nm-(n-1)T_k$ となり，三角不等式により
$|a_k|\leqq n|m|+(n-1)|T_k|\lt\dfrac{2n-1}{n-1}$ （これは $2$ より大きい）
となる．

この評価が失敗したのは， $\displaystyle\sum_{k=1}^n T_k=S=nm$ が成立するので， $|m|$ と $|T_k|$ が独立に動くことができないという点である

[解答]
$a_1，a_2，\cdots，a_n$ の平均値を $m=\dfrac{S}{n}$ とおき， $a_1，a_2，\cdots，a_n$ に対して $a_k$ を除いた $n-1$ 個の平均値を $T_k=\dfrac{S-a_k}{n-1}$ （ $k=1，2，…，n$ ）とおくと
$\displaystyle\sum_{k=1}^n T_k=S=nm$
が成立する．ここで $-1\lt (n-1)T_n=S-a_k\lt 1$ 及びそれらを全ての $k$ で加えた $-n\lt nS-S\lt 1$ から
$|m|\lt\dfrac{1}{n-1}$ ， $|T_k|\lt\dfrac{1}{n-1}$ （ $k=1，2，…，n$ ）が成立する．ここで，
$a_k=nm-(n-1)T_k=\displaystyle\sum_{k=1}^n T_k-(n-1)T_k$ $=\displaystyle\sum_{i\neq k} T_i-(n-2)T_k$
であるから三角不等式により
$|a_k|\leqq \displaystyle\sum_{i\neq k} |T_i|+(n-2)|T_k|$ $\lt \{(n-1)+(n-2)\}\cdot\dfrac{1}{n-1}$ $=\dfrac{2n-3}{n-1}\lt 2$
となる．

$m$ は $T_k$ を含んでいるので，相殺してから三角不等式を使うという訳である．

背理法を用いると例えば次のようになる．

[別解]
$a_n-a_1=(S-a_1)-(S-a_n)\lt 2$ が成立する．よって $a_n\geqq 2$ と仮定すると $a_1\gt 0$ が成立し，全ての $a_k$ は正となる．このとき
$S-a_1=a_2+\cdots+a_n\gt a_n\geqq 2$
となり矛盾．よって $a_n\lt 2$ が成立する．

同様に $a_1-a_n=(S-a_1)-(S-a_n)\gt -2$ が成立する．よって $a_1\leqq -2$ と仮定すると $a_n\lt 0$ が成立し，全ての $a_k$ は負となる．このとき
$S-a_n=a_1+\cdots+a_{n-1}\lt a_1\leqq -2$
となり矛盾．よって $a_1\gt -2$ が成立する．

よって $-2\lt a_1\leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n\lt 2$ となり，すべての $k$ について $|a_k|\lt 2$ が成り立つ．　