https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2001/Bunkei

2025.08.02記

[1]未知数 $x$ に関する方程式 $x^4-x^3+x^2-(a+2)x-a-3=0$ が，虚軸上の複素数を解に持つような実数 $a$ をすべて求めよ．

2025.08.09記
理系の 2001年(平成13年)京都大学前期-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の次数を下げた類題．

[解答]
虚軸上の複素数解を $ti$ （ $t$ は実数）とおくと
$t^4+t^3i-t^2-(a+2)ti-a-3$ $=(t^4-t^2-a-3)+\{t^3-(a+2)t\}i=0$
が成立し， $t，a$ が実数であることから
$t^4-t^2-a-3=t^3-(a+2)t=0$
となる． $a$ を消去して $t^5-2t^3+5t=t(t^4-2t^2-1)=0$ となるので $t=0，\pm\sqrt{1+\sqrt{2}}$ となり，これらに対応して
$a=-3，-1+\sqrt{2}$ となる．