https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Rikei

2025.07.10記

[6] $n$ ， $k$ は整数で， $n\geqq2$ ， $0\leqq k \leqq4$ とする．サイコロを $n$ 回投げて出た目の和を5で割ったときの余りが $k$ に等しくなる確率を $p_n(k)$ とする．

(1) $p_{n+1}(0)，\cdots，p_{n+1}(4)$ を $p_n(0)，\cdots，p_n(4)$ を用いて表せ．

(2) $p_n(0)，\cdots，p_n(4)$ の最大値を $M_n$ ，最小値を $m_n$ とするとき次の(イ)，(ロ)が成立することを示せ．

(イ) $\displaystyle m_n \leqq \dfrac{1}{5} \leqq M_n$ ．

(ロ) 任意の $k$ ， $l$ $(0 \leqq k，l \leqq 4)$ に対し $\displaystyle p_{n+1}(k)-p_{n+1}(l)\leqq\dfrac{1}{6}(M_n-m_n)$ ．

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n(k)$ を求めよ．

本問のテーマ

マルコフ過程

2025.07.21記
$n\geqq 2$ とする理由は単に「サイコロを $1$ 回投げて出た目の和」という文言が不自然だからだと思われる．

最終的に $p_n(k)=\dfrac{1}{5}$ となることは予想できる．というのも推移行列の固有値1に対応する右固有ベクトルが $(1，1，1，1，1)$ となるからである（他の固有値の絶対値は1未満なので $(1，1，1，1，1)$ に対応する分布に収束する）．

[解答]
$n=1$ のときは，サイコロを投げて出た目を5で割ったときの余りが $k$ に等しくなる確率を $p_1(k)$ と定めることにする．

(1) $p_{n+1}(0)=\dfrac{p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)+p_n(3)+2p_n(4)}{6}=\dfrac{1+p_n(4)}{6}$ ，
$p_{n+1}(1)=\dfrac{2p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)+p_n(3)+p_n(4)}{6}=\dfrac{1+p_n(0)}{6}$ ，
$p_{n+1}(2)=\dfrac{p_n(0)+2p_n(1)+p_n(2)+p_n(3)+p_n(4)}{6}=\dfrac{1+p_n(1)}{6}$ ，
$p_{n+1}(3)=\dfrac{p_n(0)+p_n(1)+2p_n(2)+p_n(3)+p_n(4)}{6}=\dfrac{1+p_n(2)}{6}$ ，
$p_{n+1}(4)=\dfrac{p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)+2p_n(3)+p_n(4)}{6}=\dfrac{1+p_n(3)}{6}$
である．

(2)(イ) 平均値は最小値以上，最大値以下であるから
$m_{n}\leqq \dfrac{p_{n}(0)+p_n(1)+p_n(2)+p_n(3)+p_n(4)}{5}=\dfrac{1}{5}\leqq M_n$
が成立する．

(ロ) (1) より
$\displaystyle p_{n+1}(k)-p_{n+1}(l)=\dfrac{1}{6}(p_n(k-1)-p_n(l-1))\leqq \dfrac{1}{6}(M_n-m_n)$
（ $p_n(-1)=p_n(4)$ とする）が成立する．

(3) (2)と同様にして任意の $k，l$ にたいして
$\displaystyle p_{n+1}(k)-p_{n+1}(l)=\dfrac{1}{6}(p_n(k-1)-p_n(l-1))\geqq \dfrac{1}{6}(m_n-M_n)$
が成立するので，任意の $k，l$ にたいして
$\displaystyle |p_{n+1}(k)-p_{n+1}(l)|\leqq \dfrac{1}{6}(M_n-m_n)\leqq \dfrac{1}{6^n}(M_1-m_1)\leqq \dfrac{1}{6^n}(1-0)=\dfrac{1}{6^n}$
が成立するので， $n\to\infty$ で $p_{n+1}(k)-p_{n+1}(l)\to 0$ となる．

よって $p_n(k)$ の極限値は全て等しく $\dfrac{1}{5}$ となる．

(2)(イ)は極限値の予想には使えるが，(3)では用いなかった

2025.07.21記
誘導がなくても，
$\displaystyle p_{n+1}(k)-p_{n+1}(l)=\dfrac{1}{6}(p_n(k-1)-p_n(l-1))$
を繰り返し用いると
$\displaystyle p_{n+5}(k)-p_{n+5}(l)=\dfrac{1}{6^5}(p_n(k)-p_n(l))$
が成立するので $m\to\infty$ で
$\displaystyle p_{5m+1}(k)-p_{5m+1}(l)=\dfrac{1}{6^{5m}}(p_1(k)-p_1(l))\to 0$
$\displaystyle p_{5m+2}(k)-p_{5m+2}(l)=\dfrac{1}{6^{5m}}(p_2(k)-p_2(l))\to 0$
$\displaystyle p_{5m+3}(k)-p_{5m+3}(l)=\dfrac{1}{6^{5m}}(p_3(k)-p_3(l))\to 0$
$\displaystyle p_{5m+4}(k)-p_{5m+4}(l)=\dfrac{1}{6^{5m}}(p_4(k)-p_4(l))\to 0$
$\displaystyle p_{5m+5}(k)-p_{5m+5}(l)=\dfrac{1}{6^{5m}}(p_5(k)-p_5(l))\to 0$
が任意の $k，m$ に対して成立し，よって $k\to\infty$ で $\displaystyle p_{n}(k)-p_{n}(l)\to 0$ であることがわかる．

一般に $p_n(k)$ は $n=5m+u$ （ $u=0，1，2，3，4$ ）として
$p_{n}(k)=\begin{cases} \dfrac{6^{n}+4}{5\cdot 6^{n}} & (k=u) \\ \dfrac{6^{n}-1}{5\cdot 6^{n}} & (\mbox{otherwise}) \end{cases}$
と表される．