https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Rikei

2025.07.10記

[5] 数列 $\{c_n\}$ を次の式で定める．
$c_n=(n+1)\displaystyle \int_0^1x^n\cos\pi x\, dx$ （ $n=1，2，\cdots$ ）

このとき

(1) $c_n$ と $c_{n+2}$ の関係を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n$ を求めよ．

(3) (2)で求めた極限値を $c$ とするとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{c_{n+1}-c}{c_n-c}$ を求めよ．

本問のテーマ

2025.07.21記
$f_n(x)=\left\{\begin{array}{ll} (n+1)x^n & (0\leqq x\leqq 1) \\ 0 & (\mbox{otherwise)} \end{array}\right.$
とおくと， $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x)\, dx=1$ であり，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\left\{\begin{array}{ll} +\infty & (x=1) \\ 0 & (\mbox{otherwise)} \end{array}\right.$
となることから， $f_n(x)\to \delta(x-1)$ （ $\delta(x)$ はディラックのデルタ関数）と見做すことができる．よって $c_{n}\to \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-1)\cos\pi x\, dx$ $=\cos(\pi\cdot 1)=-1$ となる．

[解答]
(1) $c_{n+2}=(n+3)\displaystyle\int_0^1 x^{n+2}\cos\pi x\,dx$
$=(n+3)\left\{\Bigl[\dfrac{x^{n+2}\sin\pi x}{\pi}\Bigr]_0^1-\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^1 (n+2)x^{n+1}\sin\pi x\,dx\right\}$ $=\dfrac{(n+3)(n+2)}{\pi}\left\{\Bigl[\dfrac{x^{n+1}\cos\pi x}{\pi}\Bigr]_0^1-\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^1 (n+1)x^{n}\cos\pi x\,dx\right\}$ $=\dfrac{(n+3)(n+2)}{\pi}\left\{\dfrac{-1}{\pi}-\dfrac{c_n}{\pi}\right\}$ $=-\dfrac{(n+3)(n+2)}{\pi^2}(c_n+1)$
である．

(2) $|c_n|\leqq (n+1)\displaystyle\int_0^1 x^n\, dx=1$ であるから，(1)より
$|c_{n}+1|=\dfrac{\pi^2}{(n+3)(n+2)}|c_{n+2}|\leqq \dfrac{\pi^2}{(n+3)(n+2)}$
となるので $c_n\to -1$ （ $n\to\infty$ ）となる．

(3) $\dfrac{c_{n+1}+1}{c_n+1}$ $=\dfrac{(n+3)(n+2)}{(n+4)(n+3)}\cdot\dfrac{c_{n+3}}{c_{n+2}}$ $\to 1\cdot 1=1$ （ $n\to\infty$ ）となる．