https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Rikei

2025.07.10記

[4] $p$ を素数， $a$ ， $b$ を互いに素な正の整数とするとき， ${(a+bi)}^p$ は実数ではないことを示せ．ただし $i$ は虚数単位を表す．

2025.07.21記
まず任意の整数と1は互いに素となることに注意しておく．さて， $\mbox{mod}\, p$ ， $\mbox{mod}\, a$ ， $\mbox{mod}\, b$ のどれで考えるべきかとなるが，大まかに言えば $p=2$ を除いて $p$ は奇数なので $(a+bi)^p$ の虚部には $(-1)^{\frac{p-1}{2}}b^p$ の項が登場するので， $\mbox{mod}\, a$ で考えたい．そのために $a=1，a\neq 1$ ， $p=2，p\neq 2$ の場合分けが登場する．もちろん $b=1，b\neq 1$ の場合分けも考慮する．

[解答]
(1) $p=2$ のとき $(a+bi)^2$ の虚部は $2ab\gt 0$ だから実数ではない．

(2) $p\neq 2$ のとき， $p$ は3以上の奇数である．

(i) $a\neq 1$ のとき：
$(a+bi)^p$ の虚部を $a$ で割った余りは $(-1)^{\frac{p-1}{2}}b^p$ を $a$ で割った余りに等しいが， $a$ と $b$ は互いに素であるから，これは $0$ ではない．よって虚部は $0$ ではなく，よって実数ではない．

(ii) $a=1，b\geqq 2$ のとき：
$(1+bi)^p$ の虚部を $b^3$ で割った余りは $pb$ を $b^3$ で割った余りに等しいが，素数 $p$ は $b^2$ では割り切れないので虚部は $0$ ではなく，よって実数ではない．

(iii) $a=b=1$ のとき：
$(1+i)^n$ が実数となるのは $n$ が4の倍数のときだけなので奇素数 $p$ に対しては実数とはならない．

以上全ての場合を尽くしたので証明された．

では，同様に純虚数となるかどうか調べてみよう．

$p$ は素数とし， $a，b$ は互いに素な正の整数とする．

(i) $b\neq 1$ のとき：
$(a+bi)^p$ の実部を $b$ で割った余りは $a^p$ を $b$ で割った余りに等しいが， $a$ と $b$ は互いに素であるから，これは $0$ ではない．よって実部は $0$ ではなく，よって純虚数ではない．

(ii) $b=1，a\geqq 2$ のとき：
$(a+i)^p$ の実部を $a^3$ で割った余りは $(-1)^{\frac{p-1}{2}}pa$ を $a^3$ で割った余りに等しいが，素数 $p$ は $a^2$ では割り切れないので虚部は $0$ ではなく，よって純虚数ではない．
（なお，条件は異なるが $p$ が偶数のとき， $(a+i)^p$ の実部を $a$ で割った余りは $(-1)^{\frac{p}{2}}$ に等しいので実部は $0$ ではなく，純虚数ではないことがわかる）

(iii) $a=b=1$ のとき：
$(1+i)^n$ が純虚数となるのは $n$ が4で割って2余るときだけなので奇素数 $p$ に対しては実数とはならない．

以上全ての場合を尽くしたので $(a+bi)^p$ が純虚数となるのは $a=b=1，p=2$ の場合のみである．